Пробник

• Написать частные производные функции $$z=\arcsin {\sqrt {xy}}$$ и записать ее частные дифференциалы. Дать определение нормали к поверности в заданной точке. Записать уравнение нормали.
  Решение

  $$z'_x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x-x^2y}},\ \ z'_y=\frac{1}{\sqrt{1-xy}}\cdot\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}$$
• Найти частные производные $$\frac{\partial z}{\partial u} \quad и \quad \frac{\partial z}{\partial v}\quad функции \quad z=x^2\ln{y}$$ , где $$x=\frac{u}{v},\quad y=3u-2v$$. Записать достаточное условие дифференцируемости функции $$z=f(x,y)$$.
  Решение

  $$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{2u}{v^2}\ln(3u-2v)+\frac{3u^2}{v^2(3u-2v)},\ \ \frac{\partial z}{\partial v}=-\frac{2u^2}{v^3}\ln(3u-2v)-\frac{2u^2}{v^2(3u-2v)}$$
• Найти экстремум функции $$z=2xy-3x^2-4y^2$$. Записать необходимое условие экстремума функции двух переменных. Каков геометрический смысл экстремума?
  Решение

  $$A(0,0) \mbox{ максимум }, z(A)=0.$$
• Решить дифференциальное уравнение $$2x^2yy'=2-y^2$$. Записать метод подстановки (метод Бернулли) решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.
  Решение

  $$\ln|2-y^2|=\frac{1}{x}+C$$
• Найти частное решение дифференциального уравнения $$y'+xy=e^{-\frac {x^2}{2}}$$, удовлетворяющее условию: $$y (0)=2$$. Записать, что называется общем решением дифференциального уравнения первого порядка.
  Решение

  $$y=(x+2)e^{-\frac {x^2}{2}}$$
• Найти общее решение дифференциального уравнения $$e^{y}{dx}+(x e^{y}-2y){dy}=0$$. Записать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка.
  Решение

  $$e^y\cdot x-y^2=C$$
• Найти общее решение уравнения $$4y''-y=x^2-24$$. Записать общее решение линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка, если корни характиристического уравнения действительные, причем $$\lambda_1=\lambda_2 = \lambda_3$$
  Решение

  $$y=C_1e^{-\frac{x}{2}}+C_2e^{\frac{x}{2}}-x^2+16$$
• Найти общее решение уравнения $$y'''-13y'-12y=0$$. Показать, что совокупность решений данного уравнения образует фундаментальную систему.
  Решение

  $$y=C_1e^{-x}+C_2e^{-3x}+C_3e^{4x}$$
• Решить систему $$ \left\{ \begin{array}{l} \dot {x} = 2x+y \\ \dot {y} = -x+4y \end {array} \right. $$ Записать вид общего решения системы в случае различных действительных корней характеристического уравнения.
  Решение

  $$x=e^{3t}(C_2 t+C_1),\ \ y=e^{3t}(C_2t+C_2+C_1)$$
• Преобразовать двойной интеграл $$ {\int\!\!\!\int}_{D}\,(x-2y)\,{d x} {d y}$$ к повторному, если область D ограничена линиями $$ y^2=x, y=2, y=-2, x=0$$. Записать способ вычисления двойного интеграла в полярных координатах. Привести пример.
  Решение

  $$ \int_{-2}^2\,{dy}\int_{0}^{y^2}\,(x-2y)\,{d x}$$
• Вычислить поверхностный интергал первого рода $${\int\!\!\!\int}_{S} (z^2)\,{d S},$$ если S --- часть плоскости: $$ x=2-y-z$$, лежащая в первом октанте. Записать некоторые примеры применения поверхностного интеграла первого рода.
  Решение

  $$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$
• Найти производную функции $$ u= x+\ln {y^2+z^2} \quad в \quad точке \quad M_1 (2;1;1)$$ в направление, идущем к точке $$M_2 (0;2;0)$$. Записать формулу Остраградского-Гаусса и объяснить, что она означает. $-\frac{\sqrt{6}}{3}$
  Решение

  $$-\frac{\sqrt{6}}{3}$$